真空是一种能量尽可能少的空间。然而，真空并不完全是空的。它包含量子场。量子场是经典场量子化后得到的，经典场是时空坐标的函数（如电磁场）。数学上量子场是空间和时间的算子值函数。
- 图1：将铁屑置于条形磁铁上方，可以看到条形磁铁产生的磁场线。它们按照磁场的方向对齐，形成闭合的线。
有两种类型的真空，一种真正的真空（或真基态），这是一个位于全局势能最小的量子场的稳定构型，另一种是假真空基态，它是占据局部最小值而不是全局最小值的量子场的亚稳定构型。不稳定性是由量子隧穿的势垒穿透造成的（经典场论中，两个真空都是稳定的）。
- 图2：含假真空的标量场φ的非对称双阱势（其能量比真真空的能量高ε）。向真真空的转变可以通过量子隧穿实现。
为了方便起见，把假真空选为零。我会解释为什么我们宇宙的真空状态有可能是假的真空。如果是这样的话，它可能会经历一个“隧道”过渡到真正的真空，其后果将是灾难性的。在这个由量子涨落引起的转变过程中，一个真真空的气泡就会形成。如果气泡足够大，它在能量上有利于它的生长和扩散，最终在在整个宇宙中把假真空转化为真真空（真正的宇宙级灾难）。
正如著名的美国理论物理学家西德尼·科尔曼指出的那样，这个概率是非零的，因为我们宇宙的年龄并不是“无限大”（如果是的话，真空衰变早就发生了）。大爆炸之后，宇宙不是任何真空状态（因为它的能量密度是巨大的）。当它冷却时，它可能“选择”了假真空（而不是真真空）。如果想要预测宇宙未来的变化，计算它的衰变概率是至关重要的。引用科尔曼：
在真正的真空中，自然界的常数，基本粒子的质量和耦合，都与在假真空中不同，因此观察者不再能够进行生物功能，甚至化学功能也不能。——西德尼·科尔曼
- 图3：著名的美国理论物理学家西德尼·科尔曼因其对高能理论物理的贡献而闻名。
因此，我们将计算衰减概率 Γ/V。我们会看到 h的零阶函数是这样的：
- 式1：单位时间单位体积衰减概率的数学形式。
其中A和B是理论相关系数。
如这篇文章所示：
通常，我们认为气泡的初始半径是一个微物理数值……这意味着，根据标准，一旦气泡成真，它就会几乎立即以光速膨胀。作为这种快速膨胀的结果，如果一个泡沫在此刻向我们膨胀，在它到来之前，我们基本上不会得到它接近的任何警告。在观察者注意到泡泡之后的0.000000000000000000001秒内，他就在泡泡里面了。——西德尼·科尔曼
一个很好的类比，统计物理中的成核过程
在沸腾的过热液体中，也会发生类似的现象。当液体被加热时，它会稳定在一种亚稳态的流动状态（而不是蒸发）。假真空和真真空分别对应于过热的液相和气相。
热涨落（而不是量子涨落，见上文）导致液体中的小气泡不断物化。由于气泡内部是真正的真空（具有较低的能量密度），它的存在降低了系统的总能量。然而，气泡的表面能增加了系统的能量。最终，一个足够大的气泡会物化，这样它就能从能量上促进它的膨胀（相反，小气泡往往会收缩和消失）。然后，它会将可用的液体转化为蒸汽
- 图4：当过热液体开始转变为蒸汽时，气泡形成，这个过程称为气泡成核
粒子的量子隧穿
虽然我们需要量子场来解释宇宙的隧穿，但首先考虑非相对论量子力学中的隧穿是有帮助的。
让我们考虑一个粒子通过的势垒隧穿。这本质上是一种量子现象（经典粒子会反弹）。下图显示了电子波穿过势垒的情形。右边的暗点代表穿过势垒的电子。
- 图5：电子波穿过势垒
对于总能量为E的粒子，在势为V的区域内（见图6），隧穿速率的形式如下（h为零阶）：
- 式2：图6所示势垒的隧穿速率。
注意，省略了一个前因子。
- 图6：能量为E的粒子在有两个拐点（a和b）的势阱中运动。
具体过程如图7所示：
- 图7：量子隧穿
现在让我们考虑以下的可能性（图8左侧）：
- 图8：反弹的势(左)和它的逆
拉格朗日函数：
- 式3：单位质量在一维势垒中运动的拉格朗日函数。
使用WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）近似，我们得到了与越过势垒相关的隧穿速率：
- 式4：与越过势垒相关的隧穿速率。
将计算推广到多维是很简单的。拉格朗日函数就变成：
- 式5：单位质量在多维势垒中运动的拉格朗日函数。
系数B由下式确定：
- 式6：式4中的系数B。
其中U(x₀)=0，σ是一个零面Σ。积分是在最小化B的路径上：
- 式7：公式6中的积分是在B最小的路径上。
越过势垒后，粒子的运动变成经典运动（开始时动能为零）。
根据雅可比对莫佩尔图伊斯原理的表述：
- 式8：莫佩尔图伊斯原理的雅可比公式。
这个方程决定了粒子在构型空间中轨迹的形状。这些轨迹是运动方程的解：
- 式9：质点沿式8所确定的路径运动的方程式。
比较式7和式8，我们注意到两种变分原理在两个方面有所不同，在式7中，E=0并且电位的符号被翻转。因为式7对应式10，所以式8给我们：
- 式10：欧几里得运动方程式，质点沿式7确定的路径运动。注意，时间变量使用 τ。
由式9可以得到式10，通过一个称为威克转动的变换：
- 式11：用-iτ代入时间变量t。
变量τ称为虚数时间或欧几里得时间，R的索引“+”表示τ >0。
- 图9：虚时间轴，欧几里得时间轴和威克转动，图片来源（springer）
式10取将欧几里得拉格朗日函数极值得到的运动方程：
- 取欧几里得拉格朗日函数极值，我们得到式10。
x(τ)满足以下两个条件：
- 式13：x(τ)满足这两个条件。
以下是关于这些条件的几点观察：
- 系统在τ→-∞处处于经典平衡点
- 系统是时平移不变的。因此我们可以选择σ =0。在欧几里得时间τ =0时，U=0。式13中的第二个条件由式10得到。
- 第二个条件表明τ > 0的运动方向相反。这是τ → +∞时的反弹Σ ，粒子回到它的经典平衡点
由式9和式12，我们也有:：
利用这些结果，我们从式6得到B的值：
式14：式6中系数B的值。
现在把我们的目光转换到量子场。
我们宇宙中的假真空衰变
让我们回到文章开头描述的问题（宇宙的亚稳态真空），并计算衰变概率。为简单起见，考虑具有以下欧几里得作用的量子标量场：
- 式15：标量场φ的欧几里得作用。
反弹是相应的欧几里得运动方程的解：
- 式16：由式15中的运动S产生的欧拉-拉格朗日运动方程。
下面的势U(φ)将用于计算：
- 式17：U(φ)的数学表达式。
第一项是φ-对称的，而由宇宙选择的假真空，lies ε≪1（见图2）。
有三种反弹边界条件。第一个条件说明反弹解从负无穷处的假真空回到正无穷处的假真空。数学上它由：
- 式18：反弹的边界条件之一。
第二个条件是欧几里得作用或（或等效的系数B）的必要条件：
- 式19：场论系数B的值。
- 式20：反弹的第三个边界条件。
- 式21：反弹的第二个边界条件。
这符合式13中的第二个条件。如文章开头所述，这些方程描述了真真空气泡的形成，并将在稍后详细讨论。根据式20，这些气泡被局限在空间中。与之相距甚远的是，该体系仍处于虚假的真空之中。
由于运动方程和边界条件是O(4)不变的（在欧几里德四维空间中旋转时不变），因此可以认为场只取决于到四维空间原点的距离，即径向变量：
- 式22：由于在欧几里得四维空间中旋转的不变性，场必须只依赖于ρ
这一假设最终在本文中得到了证实。式16就变成：
- 式23：式6假设场φ仅取决于ρ。
该场必须遵守的条件是：
- 式24：场必须服从的条件。
为了避免上述φ(ρ)运动方程中ρ = 0处的奇异点，必须遵守第二个条件。这种方法是非常强大的，因为它将无限自由度系统中的穿透障碍问题简化为研究单个经典微分方程的性质。
请注意，如果将式23的解解释为粒子的位置，ρ为时间，则该运动方程与质点在符号反转为U→-U的势垒中运动的力学方程相同，受与时间成反比的粘性力的作用。根据式24，粒子在ρ=0时静止被释放。如果选择合适的初始位置，粒子将在t =∞处的φ=a处静止（图中φ=a处）。φ₁这个初始位置的存在性得到了证明。
- 图10：欧几里得空间中的势（图片来源：google）。
让我们来了解一下反弹的形式。首先，选择φ(0)。它一定非常接近-a。假设它在那里停留很长时间，直到ρ≡R→∞。当ρ接近R时，它迅速滚过图10中的山谷，并缓慢地在a（t→∞）处静止。用场理论的语言来说，粒子的反弹看起来就像一个半径为R的四维静态气泡，有一层薄壁把它外面的假真空和里面的真真空隔开。
- 图11：粒子反弹看起来像一个大的半径为R的四维静态气泡，有一层薄壁将外面的假真空和里面的真真空隔开。
我们现在计算B，在边界ρ = R附近，我们有3/ρ≈0，我们可以把粘性项放在运动方程中。我们也设ε→0。式23简化为：
- 式25：当R非常大且ε→0时，得到式23。
这就是对称双阱中粒子的经典运动方程。它有一个一维的瞬子作为解。
- 式26：式25的解。
对U的对称部分使用如下公式：
得到了：
- 图12：瞬子 φ₁
运动就变成：
- 式27：φ₁的作用。
反弹的三个区域是：
R和B的值是通过改变关于R的欧几里得作用而得到的，我们得到：
闵可夫斯基时空
就像在粒子的情况下，场φ进行量子跃迁到状态：
这就给出了气泡在三维空间中被物化后的形状。跃迁之后，它的时间演化就变得经典：
注意，该方程仅由威克转动τ得到。故其解为相同变换后的反弹，即：
- 式28：闵可夫斯基时空中场的时间演化。
随着气泡膨胀，它的壁演变成双曲面：
- 式29：闵可夫斯基时空中气泡壁的时间演化。
- 图13：观察者只有在穿过气泡光锥时才注意到这个气泡。时间R之后，观察者在泡泡内部。
观察者只有在穿过气泡光锥时才注意到这个气泡。时间R之后，观察者在气泡内。正如引言中所述：
- 式30：观察者O注意到气泡时间后，需要一个时间R，气泡就会吞噬观察者。
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